8.6 二叉排序树

8.6 二叉排序树

在前面我们了解了动态查找表(在查找的时候进行插入和删除的查找表),那什么结构可以实现动态查找表呢?

什么是二叉排序树?

二叉排序树(Binary Sort Tree),又称二叉查找树。它或者是一颗空树,或者是具有下列性质的二叉树。

  • 若它的左子树不空,则左子树上所有节点的值都小于它的根节点的值;
  • 若它的右子树不空,则右子树上所有节点的值都大于它的根节点的值;
  • 它的左、右子树也分别为二叉排序树。

简而言之,就是左边孩子小,右边孩子大

8.6.1 二叉排序树查找操作

递归查找是否存在key;

1.二叉树的结构

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{
    int data;   /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;

2.代码:

/* 递归查找二叉排序树T中是否存在key, */
/* 指针f指向T的双亲,其初始调用值为NULL */
/* 若查找成功,则指针p指向该数据元素结点,并返回TRUE */
/* 否则指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回FALSE */
Status SearchBST(BiTree T, int key, BiTree f, BiTree *p) 
{  
    if (!T) /*  查找不成功 */    //判断是否是叶子
    { 
        *p = f;  
        return FALSE; 
    }
    else if (key==T->data) /*  查找成功 */ 
    { 
        *p = T;  
        return TRUE; 
    } 
    else if (key<T->data) 
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子树中继续查找 */
    else  
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子树中继续查找 */
}

8.6.2 插入操作

1.代码:

/*  当二叉排序树T中不存在关键字等于key的数据元素时, */
/*  插入key并返回TRUE,否则返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key) 
{  
    BiTree p,s;
    if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p))        /* 查找不成功,p是查到的最后一个结点 */
    {
        s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        s->data = key;  
        s->lchild = s->rchild = NULL;  
        if (!p) 
            *T = s;                /*  插入s为新的根结点 */
        else if (key<p->data) 
            p->lchild = s;  /*  插入s为左孩子 */
        else 
            p->rchild = s;  /*  插入s为右孩子 */
        return TRUE;
    } 
    else 
        return FALSE;  /*  树中已有关键字相同的结点,不再插入 */
}

8.6.3 二叉排序树删除操作

1.叶子结点的删除

直接删除,不影响原树;

这里写困

2.只有左或右子树的节点的删除:

节点删除后,将它的左子树或右子树整个移动到删除节点的位置即可,子承父业;

这里写图片描述

3.既有左又有右子树的节点的删除:

找到需要删除的节点p的直接前驱或者直接后继s,用s来替换节点p,然后再删除节点s

这里写图片描述

4.代码:

/* 若二叉排序树T中存在关键字等于key的数据元素时,则删除该数据元素结点, */
/* 并返回TRUE;否则返回FALSE*/
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{ 
    if(!*T) /* 不存在关键字等于key的数据元素 */ 
        return FALSE;
    else
    {
        if (key==(*T)->data)     /* 找到关键字等于key的数据元素 */ //找到要删除的地方
            return Delete(T);
        else if (key<(*T)->data)
            return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
        else
            return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
    }
}
/* 从二叉排序树中删除结点p,并重接它的左或右子树。 */
Status Delete(BiTree *p)
{
    BiTree q,s;
    if((*p)->rchild==NULL) /* 右子树空则只需重接它的左子树(待删结点是叶子也走此分支) */
    {
        q=*p; *p=(*p)->lchild; free(q);
    }
    else if((*p)->lchild==NULL) /* 只需重接它的右子树 */
    {
        q=*p; *p=(*p)->rchild; free(q);
    }
    else /* 左右子树均不空 */
    {
        q=*p; s=(*p)->lchild;
        while(s->rchild) /* 转左,然后向右到尽头(找待删结点的前驱) */
        {
            q=s;
            s=s->rchild;
        }
        (*p)->data=s->data; /*  s指向被删结点的直接前驱(将被删结点前驱的值取代被删结点的值) */
        if(q!=*p)
            q->rchild=s->lchild; /*  重接q的右子树 */ 
        else
            q->lchild=s->lchild; /*  重接q的左子树 */
        free(s);
    }
    return TRUE;
}

8.6.4 总结

1.时间复杂度是多少?

当二叉排序树是比较平衡的时候,时间复杂度是O(logn),类似于折半查找,当不够平衡的时候,时间复杂度是O(n)


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