8.7 平衡二叉树

8.7 平衡二叉树

二叉排序树如果不平衡的话,效率会高吗?当然不会

什么是平衡二叉树?

是一种二叉排序树,当中每个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1.

什么是平衡因子BF?

二叉树上节点的左子树深度减去右子树深度的值

什么是最小不平衡树呢?

距离插入节点的。且平衡因子的绝对值大于1的节点为根的子树。
下图中,新插入节点37时。距离它近期的平衡因子绝对值超过1的节点是58。所以从58开始下面的子树为最小不平衡子树。

Ma25KP.png

8.7.1 实现原理

1.什么是左旋,右旋,双旋

原理:其实就是利用左旋,右旋,双旋,进行二叉树的调整,

当BF>1就右旋,反之左旋

什么是左旋

其实就是将要旋转的结点B,左孩子A与它断开,然后旋转后,A再接到旋转后的B的左孩子下面,作为B的左孩子的右孩子

同理右旋

双旋分为先左后右双旋转先右后左双旋转,具体情况具体分析,下面的例子是先左后右双旋转的

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

8.7.2 平衡二叉树的实现算法

1.平衡二叉树的结构

其实就是相对于二叉排序树来说多了个平衡因子

typedef  struct BiTNode /* 结点结构 */
{
    int data;   /* 结点数据 */
    int bf; /*  结点的平衡因子 */ 
    struct BiTNode *lchild, *rchild;    /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;

2.右旋操作

    /* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理。 */
/* 处理之后p指向新的树根结点。即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{ 
    BiTree L;
    L=(*P)->lchild;         /*L指向P的左子树根结点 */ 
    (*P)->lchild=L->rchild; /*L的右子树挂接为P的左子树 */ 
    L->rchild=(*P);
    *P=L; /*P指向新的根结点 */ 
}

Ma2O8s.png

左旋操作类似,所以不写出来了

3.左平衡旋转代码

#define LH +1 /*  左高 */ 
#define EH 0  /*  等高 */ 
#define RH -1 /*  右高 */ 

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/*  本算法结束时,指针T指向新的根结点*/
void LeftBalance(BiTree *T)
{ 
    BiTree L,Lr;
    L=(*T)->lchild; /*  L指向T的左子树根结点 */ 
    switch(L->bf)
    { /*  检查T的左子树的平衡度,并作对应平衡处理 */ 
         case LH: /*  新结点插入在T的左孩子的左子树上。要作单右旋处理 */ 
            (*T)->bf=L->bf=EH;
            R_Rotate(T);
            break;
         case RH: /*  新结点插入在T的左孩子的右子树上。要作双旋处理 */ 
            Lr=L->rchild; /*  Lr指向T的左孩子的右子树根 */ 
            switch(Lr->bf)
            { /*  改动T及其左孩子的平衡因子 */ 
                case LH: (*T)->bf=RH;
                         L->bf=EH;
                         break;
                case EH: (*T)->bf=L->bf=EH;
                         break;
                case RH: (*T)->bf=EH;
                         L->bf=LH;
                         break;
            }
            Lr->bf=EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild); /*  对T的左子树作左旋平衡处理 */ 
            R_Rotate(T); /*  对T作右旋平衡处理 */ 
    }
}

4.主函数代码

/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有同样关键字的结点,则插入一个 */ 
/*  数据元素为e的新结点。并返回1,否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */ 
/*  失去平衡,则作平衡旋转处理。布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T,int e,Status *taller)
{  
    if(!*T)
    { /*  插入新结点。树“长高”,置taller为TRUE */ 
         *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
         (*T)->data=e; (*T)->lchild=(*T)->rchild=NULL; (*T)->bf=EH;
         *taller=TRUE;
    }
    else
    {
        if (e==(*T)->data)
        { /*  树中已存在和e有同样关键字的结点则不再插入 */ 
            *taller=FALSE; return FALSE;
        }
        if (e<(*T)->data)
        { /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */ 
            if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller)) /*  未插入 */ 
                return FALSE;
            if(taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */ 
                switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ 
                {
                    case LH: /*  原本左子树比右子树高。须要作左平衡处理 */ 
                            LeftBalance(T); *taller=FALSE; break;
                    case EH: /*  原本左、右子树等高,现因左子树增高而使树增高 */ 
                            (*T)->bf=LH; *taller=TRUE; break;
                    case RH: /*  原本右子树比左子树高,现左、右子树等高 */  
                            (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
                }
        }
        else
        { /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */ 
            if(!InsertAVL(&(*T)->rchild,e,taller)) /*  未插入 */ 
                return FALSE;
            if(*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */ 
                switch((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */ 
                {
                    case LH: /*  原本左子树比右子树高。现左、右子树等高 */ 
                            (*T)->bf=EH; *taller=FALSE; break;
                    case EH: /*  原本左、右子树等高,现因右子树增高而使树增高  */
                            (*T)->bf=RH; *taller=TRUE; break;
                    case RH: /*  原本右子树比左子树高,须要作右平衡处理 */ 
                            RightBalance(T); *taller=FALSE; break;
                }
        }
    }
    return TRUE;
}

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